Come risolvere serie di numeri


Sequenze Numeriche TUTORIAL - Come Risolvere i Quiz Numerici (Luglio 2019).

Anonim

Dal nome della serie numerica, è ovvio che questa è una sequenza di numeri. Questo termine è usato nell'analisi matematica e complessa come un sistema di approssimazioni ai numeri. Il concetto di una serie numerica è inestricabilmente legato al concetto di limite e la caratteristica principale è la convergenza.

istruzione

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Lascia che ci sia una sequenza numerica del modulo a_1, a_2, a_3, .

, a_n e alcune sequenze s_1, s_2, .

, s_k, dove n ek tendono a ∞, e gli elementi della sequenza s_j sono le somme di alcuni membri della sequenza a_i. Quindi la sequenza a è una serie numerica, e s è una sequenza delle sue somme parziali:
s_j = Σa_i, dove 1 ≤ i ≤ j.

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I problemi sulla soluzione delle serie numeriche sono ridotti alla definizione della sua convergenza. Si dice che una serie converga se la sequenza delle sue somme parziali converge e converge assolutamente se la sequenza dei moduli delle sue somme parziali converge. Viceversa, se una sequenza di somme parziali di una serie diverge, allora diverge.

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Per dimostrare la convergenza di una sequenza di somme parziali, è necessario andare al concetto del suo limite, che è chiamato la somma di una serie:
S = lim_n → ∞ Σ_ (i = 1) ^ n a_i.

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Se questo limite esiste ed è finito, la serie converge. Se non esiste o è infinito, allora la serie diverge. C'è un altro segno necessario, ma non sufficiente, di convergenza in serie. Questo è un membro comune di a_n. Se tende a zero: lim a_i = 0 come I → ∞, quindi la serie converge. Questa condizione è considerata in combinazione con l'analisi di altri segni, perché è insufficiente, ma se il termine comune non tende a zero, allora la serie sicuramente diverge.

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Esempio 1.
Determina la convergenza della serie 1/3 + 2/5 + 3/7 +.

+ n / (2 * n + 1) +.

.
La decisione
Applica il necessario segno di convergenza - se il termine comune tende a zero:
lim a_i = lim n / (2 * n + 1) = ½.
Quindi, a_i ≠ 0, quindi, la serie diverge.

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Esempio 2.
Determina la convergenza della serie 1 + ½ + 1/3 +.

+ 1 / n +.

.
La decisione
Il termine comune tende a zero:
lim 1 / n = 0. Sì, aspira, il segno necessario di convergenza è soddisfatto, ma questo non è abbastanza. Ora, usando il limite della sequenza di somme, proviamo a dimostrare che la serie diverge:
s_n = Σ_ (k = 1) ^ n 1 / k = 1 + ½ + 1/3 +.

+ 1 / n. La sequenza di somme, anche se molto lentamente, ma ovviamente tende a ∞, quindi, la serie diverge.

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Segno di convergenza d'Alembert.
Lasciamo che ci sia un limite finito della relazione tra i membri successivi e precedenti della serie lim (a_ (n + 1) / a_n) = D. Quindi:
D 1 - la riga diverge;
D = 1 - la soluzione è incerta, è necessario utilizzare un segno aggiuntivo.

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Un segno radicale della convergenza di Cauchy.
Sia presente un limite finito del modulo lim √ (n & a_n) = D. Quindi:
D 1 - la riga diverge;
D = 1 - nessuna risposta chiara.

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Questi due segni possono essere usati insieme, ma il segno di Cauchy è più forte. Esiste anche un attributo integrale di Cauchy, in base al quale determinare la convergenza di una serie, è necessario trovare l'integrale definito corrispondente. Se converge, la serie converge e viceversa.