Qual è la sequenza di Fibonacci? Perché è così speciale?

Il vero scopo delle piramidi è finalmente stato scoperto! (Giugno 2019).

Anonim

La matematica è lo studio dei modelli. Mentre tutti i modelli tendono a conformarsi alle rigide regole della logica, solo alcuni di essi favoriscono la creatività. È assurdo per me come una singola equazione di un pollice possa momentaneamente possedere la tua mano e portarti a disegnare le figure più squisite. È straordinario come queste figure complesse possano essere ridotte a tre simboli e due linee parallele. Uso il termine possedere perché, per questo momento, facciamo ciecamente ciò che comandano le equazioni, e confidando nella profezia, iniziamo a segnare punti, che all'inizio sembrano non collegabili.

Tuttavia, continuiamo ad acconsentire. Gli strumenti tintinnano e l'odioso sovrano rifiuta di essere sollevato finché l'impressione sulla carta non è essenzialmente una raccolta di punti infiniti; punti neri lasciati dalla matita e punti bianchi beccati dalla bussola. Gli infiniti punti si sbloccano rapidamente e obbediscono allineati proprio come la logica richiede loro. Mentre il minimalista si diletta in un cerchio, l'astrattista si compiace di un poliedro.

Poi ci sono schemi numerici, una sequenza di numeri che periodicamente si ripetono. Gli esseri umani sono intrinsecamente creature che cercano il modello. In effetti, siamo così abili a collegare i punti che questi pattern non sono esclusivi di punti, ma sono anche estesi ai contesti. L'aspetto di un modello o di una figura con un vizio o una virtù mette in correlazione l'occorrenza dei due. Sono stati la forza trainante delle sette in una miriade di società.

Il simbolo degli Illuminati e Wow! segnale (Photo Credit: Quintendp099 & NAAPO / Wikimedia Commons)

C'è un elemento di pietà che le persone hanno a lungo associato a determinate figure e gruppi, come gli Illuminati . D'altra parte, scienziati e matematici preferiscono associare una forma di mistero intellettuale a tali modelli. Considera il Wow! Segnale, uno schema di alfabeti ricevuti inaspettatamente dai numeri del radiotelescopio dell'Ohio Big Ear, che suggeriscono attività extraterrestri.

Tuttavia, esiste anche un modello di numeri che incita non solo al mistero, ma alla santità, poiché emerge in luoghi che non ci si aspetterebbe mai. Considera questo schema - 13-3-2-21-1-1-8-5 - disegnato dal curatore del museo assassinato Jacques Saunière come suggerimento per Tom Hanks nel Codice da Vinci .

Numeri di Fibonacci

Leonardo Pisano, comunemente noto come Fibonacci. (Credito fotografico: Dr. Manuel su Wikipedia tedesco / Wikimedia Commons)

Fibonacci era tremendamente affascinato dalla matematica arabo-indù. Gli europei a quel tempo continuarono a usare l'estesa serie di numeri romani, mentre gli indù e gli arabi godevano delle virtù del sistema numerico arabo-indù - numeri di base 10 che vanno da 0-9 - per generazioni. Decise di portare queste idee in Europa pubblicandole nella sua opera altamente onorata Liber Abaci.

Il libro è diventato una leggenda. Tuttavia, la sua popolarità fu alla fine ridotta a solo due contributi: primo, il sistema numerico, senza il quale i progressi della matematica moderna non sarebbero stati possibili; e in secondo luogo, un problema ipotetico e non realistico sull'allevamento dei conigli. I numeri di Fibonacci prima sono stati descritti come la soluzione a questo problema.

I misteriosi numeri di Fibonacci

Si può dividere la sequenza con qualsiasi numero per ottenere un tale modello ciclico. Ad esempio, quando i numeri sono divisi per 7, emerge un periodo di 16 numeri. Allo stesso modo, la lunghezza del periodo è 20 quando il divisore è 5. Anche la divisione per 1/3 risulta in un lungo nastro di frammenti ricorrenti e identici. Tuttavia, i matematici non hanno scoperto una formula generale che predice la durata di un periodo in cui la sequenza è divisa per un numero particolare.

Un'altra perplessità è l'infinito triangoli rettangoli nascosti nella sequenza. A partire da 5, ogni secondo numero nella sequenza è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo il cui lato più lungo è la somma di tutti i lati del triangolo precedente e il lato più corto è la differenza tra il numero saltato e il lato più corto del precedente triangolo. Una spiegazione pittorica aiuterà questi triangoli a essere meglio compresi.

Cos'è questa stregoneria?

L'utilità della matematica astratta è stata l'argomento principale nel dibattito in cui si chiedeva se la matematica fosse stata inventata o scoperta. Ci sono teorie che illustrano il più alto ordine di genio e rigore matematico ma sono completamente isolate dal mondo reale. Ad esempio, Newton ha inventato il calcolo in particolare per determinare l'equazione della traiettoria che la Terra stava seguendo attorno al Sole. Naturalmente, il calcolo si è rivelato redditizio in una miriade di altri domini, ma possiamo dire la stessa cosa dell'ipotesi di Riemann ?

Tuttavia, ci sono casi rari in cui la matematica astratta altamente esoterica diventa applicabile. Ad esempio, Riemann sviluppò i suoi concetti assurdi di geometria curva negli anni 1850, il che sembrava inapplicabile fino a quando Einstein li usò per riscoprire le leggi di gravità nella sua teoria della relatività generale . L'imprevedibilità di questi matrimoni matematici ci turba ancora.

Questo è il caso della natura mistica dei numeri di Fibonacci. Nonostante siano stati scoperti nel Medioevo, sono stati scoperti e riscoperti, per lo smarrimento di tutti, in luoghi che non ci saremmo mai aspettati. Il nostro interesse per i numeri di Fibonacci si estende a tal punto che un'intera rivista è dedicata alle sue peculiarità, chiamata Fibonacci Quarterly.

Considera il triangolo di Pascal. Quando Pascal è stato consultato da un giocatore in merito alle probabilità dei risultati di un dado e alla natura dei pali, ha inventato la teoria della probabilità per risolvere questi problemi. Il triangolo di Pascal è un triangolo pulito formato da coefficienti binomiali. Il triangolo agisce come una tabella a cui ci si riferisce mentre si espande l'equazione binomiale.

Il triangolo di Pascal. (Photo Credit: RDBury / Wikimedia Commons)

Tuttavia, se si dovessero disegnare diagonali spostandosi lungo il triangolo e sommare i numeri che risiedono su ogni singola diagonale, allora le serie di numeri equivalenti a ciascuna diagonale rappresentano, come si potrebbe immaginare, i numeri di Fibonacci. La teoria della probabilità è stata fondata 400 anni dopo la pubblicazione di Liber Abaci .

Oppure, considera l'insieme di Mandelbrot, una funzione matematica che può essere limitata da un bel diagramma disegnato nel piano complesso. Il diagramma sembra essere una foglia a forma di cuore con piccoli boccioli sui bordi. Questi boccioli sono soffusi di spine incredibilmente sottili. Il diagramma rappresenta un frattale, una struttura la cui singola parte è composta da se stessa. Il che significa che se si dovesse continuare a fare lo zoom su di esso, si scoprirà che la struttura ricorre in un ciclo infinito.

Schemi di Mandelbrot. (Credito fotografico: Wolfgang Beyer con il programma Ultra Fractal 3. / Wikimedia Commons)

Mentre ingrandiamo le gemme sui bordi, vediamo che la gemma si allarga nella foglia originale e tre nuovi germogli emergono sui bordi. Se si dovesse continuare a zoomare, sarebbe testimone che questa processione andasse avanti all'infinito. Tuttavia, mentre guardiamo sempre più in profondità, osserviamo che aumenta il numero di spine su ogni nuova gemma. L'incremento in numeri simula un determinato modello; è la sequenza di Fibonacci! Chi potrebbe aver previsto questo?

La sequenza si presenta anche in economia e tracciando il pedigree delle api maschili. È ampiamente utilizzato in informatica, dove viene utilizzato per generare numeri casualmente percepibili da algoritmi chiamati generatori di numeri pseudocasuali. Uso in modo percepibile perché i numeri generati non sono veramente casuali; dipendono sempre da un input precedente.

Viene anche utilizzato negli algoritmi di ordinamento in cui si divide l'area in proporzioni che sono due numeri di Fibonacci consecutivi e non due parti uguali. Ciò rende la ricerca di una posizione verso le operazioni matematiche più semplici: addizione e sottrazione. Considerando che, lo smistamento binario (dividendo in due parti uguali) richiede l'uso di moltiplicazione, divisione e spostamento dei bit. La sequenza viene anche utilizzata per derivare varie altre importanti identità matematiche. Tuttavia, la sua applicazione più importante si trova nei nostri giardini.

La spirale di Fibonacci

Il Partenone. (Credito fotografico: Flickr)

Alla fine i greci hanno scoperto questa essenza. Secondo loro, il modo più bello per dividere una linea in due parti è dividerle in un rapporto tale che la parte più lunga divisa per la parte più corta è uguale all'intero diviso per la parte più lunga. Hanno chiamato questo il Golden Ratio, e il suo valore è 1, 618

.

Di conseguenza, hanno basato la loro arte e architettura su questo rapporto. Un esempio è l'architettura del Partenone, i cui lati sono nella sezione aurea. Persino gli artisti del Rinascimento erano in combutta con l'altro sull'uso di questo rapporto. Una pletora delle loro opere d'arte si basa sul rapporto per amplificare il suo fascino estetico.

Che cosa ha a che fare questo prezioso rapporto con i numeri di Fibonacci? Keplero una volta osservò che "come 5 è a 8, quindi è da 8 a 13, praticamente, e come 8 a 13, quindi è quasi 13 a 21". Il rapporto di due numeri di Fibonacci consecutivi è approssimativamente uguale a * lancette lente incipient * rapporto aureo! Questo collega i numeri di Fibonacci a una delle spirali più riconosciute su Internet.

I quadrati dei numeri di Fibonacci possono essere scritti in questo modo:

1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441

.

Niente di misterioso? Aggiungiamoli un po 'insieme:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

Guarda più da vicino e noterai che 6 è il prodotto di 2 e 3, 15 un prodotto di 3 e 5 e 40 un prodotto di 5 e 8. Una relazione coniugale tra i numeri di Fibonacci e la sezione aurea diventa evidente: i due numeri costituendo questi prodotti sono numeri consecutivi di Fibonacci! Ora, eseguiamo la summenzionata citazione in modo pittorico. Ogni numero al quadrato può essere rappresentato da un quadrato il cui lato misura essere lo stesso numero di unità che viene quadrato.

Quindi, il quadrato di uno è rappresentato da un quadrato di lato una unità. Questo quadrato viene quindi aggiunto al quadrato successivo nella sequenza: un altro quadrato di un'unità laterale uno. Successivamente, il rettangolo 1 × 2 viene aggiunto a un quadrato di due unità laterali, che viene poi aggiunto a un quadrato di tre unità laterali e così via. Ci rendiamo conto che i prodotti erano in realtà le aree di questi rettangoli emergenti.

Poiché i prodotti erano numeri consecutivi di Fibonacci, si può discernere che il rapporto tra i due lati di ogni singolo rettangolo è il rapporto aureo! Poiché il numero di somme si avvicina all'infinito, il rapporto tra i lati del rettangolo crescente incumbent si avvicina al valore esatto del rapporto. Una curva che emana dal centro e passa attraverso gli angoli di ogni quadrato cresce gradualmente in una spirale: la spirale dorata, che devia costantemente ad un angolo chiamato angolo dorato.

Spirale dorata in una conchiglia di nautilus (spirale a spirale logaritmica di Nautilus) e una pigna. (Credito fotografico: Chris 73 / Wikimedia Commons & Pixabay)

La spirale dorata può essere trovata in una miriade di luoghi nella natura, dalla forma della nostra galassia a un guscio di nautilus. Regola la disposizione delle pigne e dei frutti di un ananas. Il mio preferito è la sua presenza nella disposizione dei semi ammassati nel centro di un girasole. Tuttavia, usare il termine "ingombro" avrebbe trascurato spudoratamente la grandezza del rigore che la natura trascorreva nell'organizzare questi semi.

I semi di un girasole divergono nell'angolo dorato. (Credito fotografico: Remi Jouan / Wikimedia Commons)

I semi non sono allineati come i raggi di una ruota; gradualmente si espandono verso l'esterno. L'angolo di divagazione è l'angolo dorato. Sembra che la natura abbia volontariamente optato per questo rapporto perché la divisione del cerchio per un numero irrazionale non ha causato alcuna semina per avere un vicino con lo stesso angolo dal centro. Ciò ha comportato un imballaggio altamente efficiente, senza lasciare spazio per spazio negativo. Il numero di spirali, chiedi? 55 in una direzione, 89 nell'altra. Entrambi i numeri di Fibonacci, ovviamente!